看波利亚如何解题

看波利亚如何解题

波利亚（美国著名数学家）在他的《如何解题》的前言中提到，他对如何解题的好奇来源于他学生时代尝试解决种种问题。《如何解题》正是他在实践中对如何思考能得到大多数问题答案的经验的总结。书中的方法不涉及问题的具体条件，只是从思路的角度启发人怎么解题，所以这本书也就能满足一下解决所有问题的野心。
他把解题的步骤分为弄清问题：未知数是什么？已知数据是什么？…；拟定计划：你是否知道与此相关的问题？看看未知数？回到定义去…；实现计划：检验每一步；回顾：你能否检验这个结论？你能否用别的办法导出这个结果？…。这本书举了很多初等数学中的例子来对这些所提的问题展开。

一个例子
问题：已知长方体的长宽高，求其对角线长度。
下面是学生和老师的对话：
“已知数是什么”——“长方体的长宽高”；“未知数是什么”——“长方体的对角线长度”；“条件是否充分，是否足够确定未知数”——“长宽高完全确定了一个长方体”；“是否知道一个与此相关的问题”——“……”；“是否知道一个与此具有相似未知数的问题”——“……”；“对角线是一个线段，你知道一个求线段长度的问题吗”——“知道啊，比如直角三角形的斜边”；“那应该知道什么条件才能计算斜边的长度”——“知道直角三角形的两个直角边就可以”；“可不可以把长方体的对角线作为一个直角三角形的斜边”——“不可以，对角线没在一个直角三角形中”;“那添加一个辅助线怎么样，让对角线在直角三角形中”……。
这个例子用提问的方式将学生引导到正确问题的解答上，例子中包含了“怎样解题”表中的“已知数是什么”、“未知数是什么”、“能否利用类似的问题”……。例子中不算聪明的学生确在老师的引导下完成了题目的解答。

这个例子很可能让人有个疑问“这种探索的方法的广泛性如何？它能解决其他问题吗？”，套用波利亚的话，“一个猎人可能偶尔错误地解释猎物的踪迹，但总的来说它必定是正确的，否则他就不可能靠打猎为生了。”下面从逻辑上的分析能说明探索法的有效性。
形式逻辑中有这样一个论断：前提为，若A真，则B真，那么，B真时，A不一定为真，也就是A是B的充分条件，而不是必要条件。波利亚则从另一个角度认识这个论断：前提为，若A真，则B真，那么，B真时，A可能为真。将它用到解题上，前提为，若得到解答，则就解答过程中必定利用了所有条件、可能利用了类比、可能分解并结合了已知条件……，那么，如果利用了所有已知条件、可能利用了类比、可能分解并结合了已知条件……，那么可能得到解答。探索法之所以能够引导人们解决问题，也正在于原命题和逆命题的这样关系的原因。

有野心以某一种方式解决大部分问题或想有效地引导他人解决问题的人，都应该看看这个世界数学名著，书中的很多例子对理解和应用探索法解决数学乃至非数学问题有很大帮助。正如著名的现代数学家瓦尔盖在1952年2月2日瑞士苏黎世大学的会议致辞中说的：“每个大学生、每个学者，特别是每个教师都应该读一读这本引人入胜的书”。